导数

平均变化率

函数 $y = f(x)$ 从 $x_1$ 到 $x_2$ 的平均变化率为 $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$，简记作 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

瞬时变化率与导数

函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的瞬时变化率是函数 $f(x)$ 从 $x_0$ 到 $x_0 + \Delta x$ 的平均变化率在 $\Delta x \to 0$ 时的极限，记作 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

一般地，我们称上文的瞬时变化率为函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数，记作 $f’(x_0)$ 或 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \bigg|_{x = x_0}$

实际上，导数描述的即为任何事物的瞬时变化率

Example：

求 $y = f(x) = x^2 - 7x + 5$ 在 $x = 2$ 的导数，则有
$$
\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} \\ &= \Delta x - 3 \end{aligned}
$$
所以
$$
f’(2) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta x - 3) = - 3
$$

常见的基本初等函数的导数公式

$f(x)$ $f’(x)$ $f(x)$ $f’(x)$
$c$ $0$ $x^a$ $ax^{a - 1}$
$\sin x$ $\cos x$ $\cos x$ $- \sin x$
$a^x$ $a^x \ln a$ $e^x$ $e^x$
$\log_a x$ $\frac{1}{x \ln a}$ $\ln x$ $\frac{1}{x}$
$\tan x$ $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ $\cot x$ $- \csc^2 x = - \frac{1}{\sin^2 x}$

求导法则

$$
[f(x) \pm g(x)]’ = f’(x) \pm g’(x) \\
[cf(x)]’ = cf’(x) \\
[f(x) \cdot g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) \\
[\frac{f(x)}{g(x)}]’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2}
$$

复合函数 $y = f(g(x))​$ 的导数和函数 $y = f(u), u = g(x)​$ 的导数间的关系为 $y_x’ = y_u’ \cdot u_x’​$，即 $y​$ 对 $x​$ 的导数，等于 $y​$ 对 $u​$ 的导数与 $u​$ 对 $x​$ 的导数的乘积

Example：

对 $y = cos^2 \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ 求导
$$
这个复合函数是 f(x) = x^2 套 f(x) = \cos x 套 f(x) = 2x + \frac{\pi}{3} \\
容易得到 y’ = -4\sin (2x + \frac{\pi}{3})\cos (2x + \frac{\pi}{3}) \\
则有 y’ = -2\sin (4x + \frac{2\pi}{3})
$$

偏导数

如果有函数自变量个数大于一，如
$$
f(x, y) = x^2 + xy + y^2
$$
那么可以固定一个平面，如 $x$ 平面，那么 $f(x, y)$ 可以看作是关于 $y$ 的参数函数 $f_x(y)$，也就是说每个 $x$ 定义了一个一元函数 $f_x(y)$

比如现在令 $x = a$，则有
$$
f_a(y) = a^2 + ay + y^2
$$
对其求导，则有
$$
f’_a(y) = a + 2y
$$
那么对于所有 $x$ 的取值，定义
$$
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x + 2y
$$
这就是 $f$ 关于 $y$ 的偏导数

那么对于多元函数 $f(x_1, x_2, …, x_n)$ 在点 $(a_1, a_2, …, a_n)$ 关于 $x_k$ 的偏导数定义为
$$
\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1, …, a_n) = \lim\limits_{\Delta x_k \to -} \frac{f(a_1, …, a_k + \Delta x_k, …, a_n) - f(a_1, …, a_n)}{\Delta x_k}
$$
这就做到了偏导数通过一元函数进行计算

这说明
$$
\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1, …, a_n) = \frac{\mathrm{d} f(a_1, …, a_{k - 1}, a_{k + 1}, …, a_n)}{\mathrm{d} x_k}(a_1, …, a_n)
$$

高阶导数

二阶导数

如何函数的导数 $f’(x)$ 在 $x$ 处可导，则称 $[f’(x)]’$ 为 $x$ 的二阶导数

高阶导数

那么高阶导数的定义即为二阶导数的扩展

$n$ 阶导数记作 $f^{(n)}(x), y^{(n)}, \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}$ 或 $\frac{\mathrm{d}^nf(x)}{\mathrm{d}x^n}$

高阶导数求导法则

$$
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}^nx^n}(cu) = c\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x^n}u \\
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(u \pm v) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}u \pm \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}v \\
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(u \times v) = \sum\limits_{k = 0}^n \dbinom{n}{k}\frac{\mathrm{d}^{d - k}}{\mathrm{d}x^{d - k}}u\frac{\mathrm{d^k}}{\mathrm{d}x^k}v 「莱布尼兹公式」
$$

常用高阶导数公式

$$
(x^{\alpha})^{(n)} = x^{\alpha - n} \prod\limits_{k = 0}^{n - 1}(\alpha - k) \\
(\frac{1}{x})^{(n)} = (- 1)^n\frac{n!}{x^{n + 1}} \\
(\ln x)^{(n)} = (- 1)^{n - 1}\frac{(n - 1)!}{x^n} \\
(e^x)^{(n)} = e^x \\
(a^x){(n)} = a^x \cdot \ln^n a (a > 0) \\
(\sin (kx + b))^{(n)} = k^n\sin (kx + b + \frac{n\pi}{2}) \\
(\cos (kx + b))^{(n)} = k^n\cos (kx + b + \frac{n\pi}{2})
$$

积分

定积分

函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，用分点 $a = x_0 < x_1 < … < x_{i - 1} < x_i < … < x_n = b$，在每个小区间 $[x_{i - 1}, x_i]$ 上人去一点 $\xi (i = 1, 2, …, n)$，作和式 $S_n = \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i)\Delta x = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{b - a}{n} f(\xi_i)$，当 $n \to \infty$ 时，和式无限接近的常数被称作函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i = 1}^n \frac{b - a}{n} f(\xi_i)$ ，$a, b$ 分别称作积分下限与积分上限，区间 $[a, b]$ 称作积分区间，$f(x)$ 称作被积函数，$x$ 称作积分变量，$f(x)\, \mathrm{d} x$ 称作积式

其几何意义表示由直线 $x = a, x = b, y = 0​$ 及曲线 $y = f(x)​$ 所围成的曲边梯形面积

当 $x \in [a, b]​$ 时，若 $f(x) < 0​$，则直线 $x = a, x = b, x​$ 轴和曲线 $f(x)​$ 围成的图形的面积应为 $- \int_a^b f(x) \mathrm{d} x​$

定积分的性质

$$
\int_a^b kf(x) \mathrm{d} x = k\int_a^b f(x) \mathrm{d} \\
\int_a^b[f_1(x) \pm f_2(x)] \mathrm{d} x = \int_a^b f_1(x) \mathrm{d} x \pm \int_a^b f_2(x) \mathrm{d} x \\
\int_a^b f(x) \mathrm{d} = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x (其中 a < c < b)
$$

微积分基本定理

一般地，如果 $f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，并且 $F’(x) = f(x)$，那么
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = F(x) \big|_a^b = F(b) - F(a)
$$

不定积分

不定积分实际上就是 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$，$F(x)$ 也被称作 $f(x)$ 的不定积分

函数族 $f = \{F(x) + C | C \in \mathbb{R}\}​$ 称为函数 $f = k​$ 的原函数族，也就是 $f = k(x)​$ 的所有可能的原函数的集合，其中 $f = C​$ 称作积分常数，是 $f = k(x)​$ 经过垂直平移得到的一组常数「因为不管怎么样对于每个 $x​$ 它们的导数是相同的」

常见不定积分公式表

$\int_a^b c \mathrm{d}x = cx \mid_a^b$
$\int_a^b x^n \mathrm{d}x = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} \mid_a^b$
$\int_a^b \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln x \mid_a^b$
$\int_a^b \sin x \mathrm{d}x = - \cos x \mid_a^b$
$\int_a^b \cos x \mathrm{d}x = \sin x \mid_a^b$
$\int_a^b e^x \mathrm{d}x = e^x \mid_a^b$
$\int_a^b a^x \mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} \mid_a^b$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$